Análisis cualitativo de estabilidad, bifurcaciones y soluciones exactas tipo solitón para el modelo de FitzHugh-Nagumo

Qualitative analysis of stability, bifurcations, and exact soliton-type solutions for the FitzHugh-Nagumo model

Resumen

En este trabajo se presenta un desarrollo algebraico-cualitativo de la ecuación de FitzHug-Nagumo, cuya importancia fundamental estriba en que dicha ecuación permite una descripción cualitativa de procesos neuronales y también se adapta a otros procesos de índole no-lineal. Este trabajo está conformado en dos resultados principales. La primera se enfoca al análisis dinámico sin variación espacial para el caso en que al sistema descrito se le aplica una excitación constante y posea un solo punto de estabilidad; adicionalmente, se muestran simulaciones numéricas para excitación tipo pulso de duración finita. La segunda contempla un análisis del comportamiento ondulatorio para la ecuación reducida. Por el carácter de escalamiento de las ecuaciones que si bien representan magnitudes físicas las unidades asociadas a las mismas son arbitrarias. En conclusión, el modelo simplificado de FitzHugh-Nagumo permite una comprensión rigurosa del fenómeno de excitabilidad. El análisis dinámico confirma que el potencial de reposo actúa como un atractor asintóticamente estable, mientras que bajo excitación constante el sistema exhibe ciclos límite asociados a bifurcaciones de Andronov-Hopf. Finalmente, el estudio ondulatorio demuestra que la topología del frente de onda depende críticamente de su velocidad de propagación, posibilitando la deducción de soluciones analíticas exactas de tipo solitón mediante la superposición no lineal de sub-frentes intrínsecos.

Abstract

The purpose of this research is to present an algebraic-qualitative development of the FitzHugh-Nagumo equation, whose fundamental importance lies in the fact that this equation allows for a qualitative description of neuronal processes and is also adaptable to other nonlinear processes. This work consists of two main results. The first focuses on the dynamic analysis without spatial variation for the case in which the described system is subjected to constant excitation and has a single point of stability; additionally, numerical simulations for pulse excitation of finite duration are shown. The second includes an analysis of the wave-like behavior of the reduced equation. Due to the scaling nature of the equations, although they represent physical magnitudes, the units associated with them are arbitrary. In conclusion, the simplified FitzHugh-Nagumomodel allows for a rigorous understanding of the excitability phenomenon. Dynamic analysis confirms that the rest potential acts as an asymptotically stable attractor, while under constant excitation the system exhibits limit cycles associated with Andronov-Hopf bifurcations. Finally, wave study demonstrates that the wavefront topology depends critically on its propagation speed, enabling the derivation of exact soliton-type analytical solutions through the nonlinear superposition of intrinsic sub-fronts.