LOS TEOREMAS DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL, TEORÍA DE CONJUNTOS Y EL PROGRAMA DE DAVID HILBERT

Abstract

Kurt Gödel demostró en 1931, que para todo sistema formal Z recursivo lo suficientemente potente como para derivar los axiomas de Peanoy que además se suponga como consistente, se tiene que en el sistema hay proposiciones indecidibles, es decir, el sistema no es completo. Por otra parte, Gödel probó que si el sistema Z es consistente entonces no se puedederivar en Z una proposición que afirme la consistencia de Z. Estos resultadosson los que se conocen como Primer Teorema de Incompletitud Gödel y Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel. Dichos resultados tienen un gran impacto sobre la investigación de los fundamentos de la matemática quevenía gestándose en los primeros treinta años del siglo pasado, y tiene ademásconsecuencias sobre la filosofía de la matemática de dicha época. Este artículo se encuentra estructurado en tres partes: En una primera parte nos ocupamos de la formulación de los Teoremas de incompletitud y las ideas principalesde su demostración en cada caso. Seguidamente mostraremos una aplicación del Segundo Teorema de Incompletitud en la teoría de conjuntos referente a los cardinales inaccesibles. Por último, desarrollaremos las consecuencias filosóficas que los Teoremas de incompletitud de Gödel tienen sobre el proyecto meta-matemático de David Hilbert.

Abstract: Kurt Gödel proved in 1931 that for any formal recursive system Z powerful enough to derive the Peano axioms and also supposed to be consistent, we have that in the System there are undecidable propositions, i.e., the system is not complete. Moreover, Gödel proved that if the Z system is consistent then it can not derive in Z a proposition asserting the consistency of Z. These results are known as Gödel's First Incompleteness Theorem and Gödel's Second Incompleteness Theorem. Such results have a great impact on the investigation of the foundations of mathematics that had been developing in the first thirty years of the last century, and it, furthermore, has implications for philosophy of mathematics of that time. This article is structured in three parts: In the first part we deal with the formulation of the incompleteness theorems and the main ideas of its proof in each case. Then, we will show an application of the Second Incompleteness Theorem in set theory concerning inaccessible cardinal. Finally, we will develop the philosophical consequences that Gödel's incompleteness theorems have on the meta-mathematical project that David Hilbert proposed.