A Multisection and Sweeping Method for Solving Nonsmooth Equations

Abstract

Un nuevo método numérico de multisección y barrido se presenta para resolver la ecuación F(x) = 0 en la cual sólo se requiere continuidad para la aplicación F de un subconjunto abierto simplemente conexo Ω de ℝ ^n en ℝ ^n El caso bidimensional es trabajado en detalle, y en lugar de "Celdas Cartesianas Poincaré" (Rectángulos Poincaré en ℝ^2), definimos subdominios "confluentes", en los cuales las componentes escalares de F muestran un signo constante. Una vez que estos subdominios confluentes son detectados mediante un barrido sistemático de Ω, se construye una "Celda Cartesiana Miranda", en la cual se garantiza la existencia de una solución "x", y a partir de ella, un método numérico de multisección (Cuadrisección en ℝ^2), el cual generaliza al método de bisección basado en el Teorema de Bolzano, se aplica para aproximar "x" sucesivamente. A new multisection and sweeping numerical method is presented for solving the equation F(x) = 0 where only continuity is required for the mapping F of an open simply connected subset Ω of ℝ ^n into ℝ ^n. The bidimensional case is worked out in detail, and instead of "Poincaré Cartesian Cells" ("Poincaré-Rectangles" in ℝ^2) we define "confluent" subdomains, where the scalar components of F exhibit a constant sign. Once these confluent subdomains are detected by a systematic sweeping of Ω, a "Miranda Cartesian Cell" where a solution "x" is granted to exist, is constructed, and starting from it, a multisection numerical method (Quadrisection in ℝ^2), which generalizes the bisection method based on Bolzano’s Theorem, is applied to successively approximate "x".