Modelado computacional de la propagación de ondas en medios heterogéneos

Abstract

Una proporción importante de los materiales con los que más interacciona el ser humano lo conforman los catalogados como heterogéneos y desordenados. El análisis de propagación de ondas como una técnica de tomografía no invasiva y de caracterización de materiales complejos ha generado particular interés en el estudio analítico y computacional de dichos fenómenos. El problema de modelar analíticamente sistemas de naturaleza intrínsecamente discreta mediante descripciones de campo continuo ha conducido a ciertas dificultades en la construcción de modelos teóricos para medios desordenados, ya que la evidencia experimental está en contra de una descripción puramente macroscópica que no tome en cuenta propiedades de la microestructura del material. En este trabajo se presentan los fundamentos teóricos para construcción de una descripción matemática continua de sistemas discretos y polidispersos (desordenados). La descripción es hecha mediante funciones de campo continuo pertenecientes al espacio de Hilbert de funciones cuadrado integrales. Basados en argumentos físicos, se introducen algunas definiciones y postulados que permiten establecer un vínculo entre la representación continua de coarse-graining para sólidos discretos (inicialmente propuesta en [2]) y la representación integral del método SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics, inicialmente propuesto en [3, 4]). Se muestra que las funciones de coarse-graining deben satisfacer las mismas propiedades matemáticas de un kernel SPH para que la descripción macroscópica sea consistente con las propiedades microscópicas del material. Dicho método es aplicado a un modelo microscópico (discreto) de propagación de ondas longitudinales en un material unidimensional, y se construye una descripción macroscópica y continua de dicho sistema. Se demuestra que la ecuación de onda acústica, introduciendo desorden en la velocidad de fase del medio según alguna función aleatoria, modela la propagación de ondas acústicas en un medio con fluctuaciones aleatorias en su micro-estructura. Se describen los métodos numéricos seleccionados para modelar numéricamente la propagación de ondas en medios desordenados y se realizan los correspondientes análisis de estabilidad y consistencia numérica. Se describe el proceso de discretización de dominios y operadores sobre los elementos del espacio de Hilbert en el que se desarrolla la teoría continua y se adapta una técnica experimental al algoritmo numérico para obtener relaciones de dispersión directamente de los resultados de las simulaciones. Los algoritmos son validados haciendo una serie de simulaciones de problemas con soluciones analíticas conocidas. En dichas simulaciones se identifica un problema de inconsistencia numérica en la representación de fuentes no proporcionales a la función (t). Finalmente, se hacen una serie de simulaciones en medios desordenados espacialmente y espacio-temporalmente, donde se observa fenómenos de localización tipo Anderson y de aceleración estocástica, respectivamente, los cuales ya han sido reportados en trabajos experimentales.