Evaluación del desempeño de un método mimético aplicado a la ecuación de conducción unidimensional de calor en régimen transitorio

Abstract

Los métodos numéricos son una herramienta muy empleada para poder resolver una gran cantidad de problemas en los cuales el modelo matemático que describe el problema físico no tiene solución analítica. En el área de transferencia de calor, especialmente cuando se estudia la ecuación unidimensional en régimen transitorio se utiliza normalmente el método tradicional, conocido con el nombre de diferencias finitas. Sin embargo, recientemente se desarrollaron otros métodos que permiten obtener la solución de esta ecuación. Uno de los métodos creados recientemente recibe el nombre de método mimético y ha sido desarrollado por Castillo-Yasuda (2005) y Castillo y Grone (2003). Este método está basado en esquemas de diferencias finitas que mimetizan las propiedades de simetría de los operadores continuos y satisfacen versiones discretas de identidades diferenciales e integrales entre ellos, además generan ecuaciones lineales separadas para las condiciones de borde y la ecuación diferencial, lo cual representa una innovación si se le compara contra el método tradicional, en el cual el orden de aproximación en los nodos internos y los bordes no son los mismos, igualmente, las discretizaciones propuestas en los bordes y en los nodos interiores no son compatibles con los operadores diferenciales continuos y teoremas generales de cálculo diferencial e integral que los relaciona. De acuerdo a esto, el objetivo del presente trabajo fue realizar una evaluación de desempeño del método mimético aplicado a la ecuación unidimensional de calor en régimen transitorio. Para ello, se especificaron las discretizaciones de ambos métodos tanto para segundo como para cuarto orden. Luego de ello se realizaron las pruebas necesarias utilizando algunos ejemplos conceptuales particulares que evidenciaron el inconveniente que pueden llegar a ocasionar los puntos fantasmas, presentes en el esquema tradicional. Finalmente, utilizando los parámetros adimensionales de Biot y Fourier se efectuó un análisis del fenómeno físico, para de esta forma, tener una tendencia más clara del comportamiento de ambos métodos en el estudio de una aplicación real del ejercicio de la profesión. Los errores encontrados mostraron una tendencia a que el método mimético aproxima mejor la solución analítica en términos del error y de la convergencia en la mayoría de las pruebas realizadas.