Formulación tensorial de las diferencias finitas miméticas y aplicaciones a problemas elípticos

Abstract

Resumen Las aproximaciones miméticas de los operadores diferenciales continuos gradiente, divergencia y rotacional, satisfacen parte de las propiedades fundamentales del cálculo vectorial. En particular, los operadores miméticos en diferencias fi nitas gradiente y divergencia propuestos por Castillo y colaboradores cumplen con una versión discreta del teorema de integración por partes en mallas centro-distribuidas en 1D. En la aproximación de este principio integral,se introduce un operador de proyección de un campo vectorial en la frontera del dominio, y que también interviene en la discretización del Laplaciano en el interior de la malla. En este trabajo se presenta una formulación tensorial de estos tres operadores en mallas rectangulares en dos y tres dimensiones, y se prueba formalmente que estos nuevos operadores también satisfacen la versión mimética del teorema de la divergencia. A continuación, se procede a la discretización mimética de ecuaciones elípticas de segundo orden bajo condiciones de frontera de tipo Robin. Para el caso de segundo orden de precisión, se presenta un análisis formal de la consistencia de este esquema mimético, y se acotan los autovalores de la matriz asociada al sistema lineal correspondiente para garantizar su no singularidad, ante una amplia gama de parámetros del modelo elíptico. Así, se demuestra la convergencia de la discretización mimética propuesta. Adicionalmente, se formulan dos esquemas numéricos alternativos, uno con segundo orden de precisión en mallas con un refi namiento local e independiente en cada dirección coordenada, y el otro basado en operadores gradiente y divergencia con cuarto orden de precisión sobre un mallado uniforme. A nivel de experimentación numérica, se emplean estos tres esquemas en la resolución de problemas de capa límite, y cuya difi cultad se ajusta gradualmente mediante un parámetro del problema. Gracias a un refi namiento de malla apropiado, el esquema de segundo orden no uniforme muestra tasas de convergencia óptimas y mayor precisión que su homólogo uniforme, en todos estos casos. Sin embargo, las soluciones calculadas por el esquema de cuarto orden uniforme resultan las más precisas en los casos menos severos. En problemas de difusión de nidos para un tensor de propiedades no diagonal, se aplica una interpolación lineal de las componentes del vector flujo para permitir su solución mediante los operadores miméticos propuestos. En estos últimos casos, todos los esquemas exhiben una convergencia cuadrática, y de nuevo el esquema no uniforme resulta el más preciso. Palabras Clave: Diferencias fi nitas miméticas, productos tensoriales, mallas localmente re nadas, ecuaciones elípticas, error local de truncamiento, método mimético tridimensional de segundo orden.