Inferencia no paramétrica sobre Procesos Esticásticos Hamiltonianos y análisis del transporte de contaminantes en cuerpos de agua

Abstract

Resumen En este trabajo de tesis se estudian dos problemas de estimación: ajuste de modelos matemáticos a datos de dinámicas moleculares y descargas neuronales, y generación de métodos de aproximación para la simulación del transporte de desechos orgánicos en cuerpos de agua cerrados y poco profundos.Para resolver el primer problema, se definen estimadores no paramétricos de la densidad de la solución y los coeficientes de sistemas hipoelípticos de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs), usados para modelar los datos de interés. La aproximación de estos elementos permite: 1) definir explicitamente un sistema de EDEs que explica el comportamiento de los datos, y 2) dar respuesta a otro tipo de incognitas,como por ejemplo predicciones asociadas al evento de donde provienen los datos. Los sistemas hipoelípticos considerados para modelar este tipo de datos están caracterizados por una relación de generación y disipación de energía entre su drift y su coeficiente de difusión. Esta relación de fluctuacióndisipación,implica la simplificación de hipótesis que garantizan la convergencia de los estimadores a los parámetros de la EDE que estiman. Con el objetivo de analizar la bondad de los estimadores propuestos se realizan experimentos numéricos con cuatro sistemas hipoelípticos de EDEs. Por cada sistema se aproxima una realización, para evaluar los estimadores y comparar estos resultados con los coeficientes del sistema hipoelíptico del que se generó la realización. También se realizan pruebas correspodientes al error de estimación: cáculo del error cuadrático medio integrado relativo de cada estimador, y tasa de convergencia del método que define el algoritmo, con el que se generan las muestras de las trayectorias del sistema en estudio .Con respecto al segundo problema de estimación, se consideran los modelos estocásticos paseo aleatorio y vuelo aleatorio,complementados con las condiciones de borde de Newmann correspondientes al caso estocástico, para simular el desplazamiento de desechos orgánicos en el agua: movidos por la corriente del agua (aproximada con las ecuaciones de Saint-Venant) y las colisiones de las partículas del contaminante con las moléculas propias del agua (aproximadas con variables aleatorias y datos experimentales).Como una aplicación, se implementan los modelos estocásticos para simular la dispersión real de desechos orgánicos en el Lago de Valencia durante un período de tiempo específico. Para llevar a cabo estas implementaciones, se considera como condición inicial de los modelos una distribución que simula la clorofila en el Lago de Valencia en un instante de tiempo específico, concebido como el instante inicial de observación de la dispersión del contaminante en el lago. Se asume la presencia de clorofila en el lago como indicador de la presencia del contaminante, basados en el hecho de que los componentes fundamentales de los desechos orgánicos (fósforo y nitrógeno), descargados en cuerpos de agua, son los principales nutrientes de los elementos que contienen clorofila (como las algas). La presencia de clorofila en el lago se determina a través de su índice de vegetación (NDV I ), el cual se calcula a partir de sus imágenes satelitales. El procedimiento de aproximación para la condición inicial se ejecuta usando un algoritmo de rebote en el borde que garantiza el rebote simétrico, al interior del lago, de las particulas del contaminante que arriban a la parte exterior de su borde. La condición inicial así fabricada corresponde a una distribución de probabilidad que aproxima con precisión la distribución real de los desechos orgánicos en el lago, correspondiente al instante de tiempo inicial de observación,debido a que no está definida únicamente por la posiciones en donde se observa clorofila, sino también por una medida de la densidad de la clorofila en estas posiciones.